\documentclass[article,twocolumn,oneside,a4paper]{memoir}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[sc]{mathpazo}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm}
\usepackage[final]{microtype}
\usepackage{url}
\usepackage{color}

\setulmarginsandblock{65pt}{65pt}{*}
\setlrmarginsandblock{35pt}{35pt}{*} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
\checkandfixthelayout

\newcommand\reals{\mathbb{R}}
\newcommand\fracs{\mathbb{Q}}
\newcommand\nats{\mathbb{N}}
\newcommand\borel{\mathcal{B}}
\newcommand\ints{\mathcal{I}} % intervals
\newcommand\sysE{\mathcal{E}}
\newcommand\sysF{\mathcal{F}}
\newcommand\el{\mathcal{L}}
\newcommand\Lone{\el^1}

\newcommand\suchthat{\,:\,}
\newcommand\e{\mathrm{e}}
\newcommand\dd{\;\mathrm{d}}
\newcommand\dlambda{\;\lambda(\mathrm{d}x)}
\newcommand\dmu{\;\mathrm{d}\mu}
\newcommand\lambdaddx{\;\lambda_d(\mathrm{d}x)}
\newcommand\rieint{\mathrm{R}\int}
\newcommand\indicator{\mathbf{1}}

\newcommand\sigmaalg{$\sigma$-alg}
\newcommand\MBR{\mathcal M(\borel(\reals))}

\newcounter{bookitemc}[section]
\newcommand\nextbookitem{\stepcounter{bookitemc}\thesection.\arabic{bookitemc}}

% The following bit of TeX magic breaks the line before the user-supplied book
% item description in case this is as good not breaking the line at that point.
\newcommand\suggestbreakbefore[1]{%
\quad\hfill\penalty0\hskip0pt plus -1fill %
\count123=\linepenalty %
\linepenalty=100 %
#1
\linepenalty=\count123 %
}

\newcommand\bookitemc[4]{%
\par \noindent %
\hangindent=0.7cm %
#2 #1 %
\suggestbreakbefore{#4} %
\hfill \textit{#3}}

% Shorthands for the above
\newcommand\bookitem[3]{\bookitemc{\nextbookitem{}}{#1}{#2}{#3}}
\newcommand\bookitemdef{\bookitem{\textbf{Definition}}}
\newcommand\bookitemlem{\bookitem{\textbf{Lemma}}}
\newcommand\bookitemthm{\bookitem{\textbf{Sætning}}}
\newcommand\bookitemeks{\bookitem{\textit{Eksempel}}}
\newcommand\bookitemkor{\bookitem{\textbf{Korollar}}}
%\newcommand\bookitembem{\bookitem{\textit{Bemærkning}}}

% Don't display these unless there is a user-supplied description
\newcommand\bookitembem[2]{%
  \ifx&#2&%
  \par\stepcounter{bookitemc}%
  \else%
  \bookitem{\textit{Bemærkning}}{#1}{#2}%
  \fi%
}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large
  Indledende Mål- og Integralteori \\
  af Steen Thorbjørnsen
\end{center}

\chapter*{Eksamen}

\begin{itemize}
  \item[1.a] Redegør for, at $B$ er en Borelmængde: Anvend 1.5.5.
  \item[1.b] Udregn $\lambda_2(B)$: Anvend 4.3.8.
  \item[2.a] Redegør for, at $f \in \MBR^+$: Anvend 1.4.8 og 1.5.4.
  \item[3.b] Vis, at $f_n \in \Lone(\lambda)$: Domineret konvergens 2.5.3.
  \item[4.c] Vis, at $F$ er $\sysE$-$\sysE$-målelig. Anvend 1.4.6(iv).
  \item[4.d] Vis, at $F^{-1}(E) = E$ for alle $E$ i $\sysE$. Anvend 1.1.11.
\end{itemize}
Før du integrerer: Redegør for, at funktionen er i $\el(\lambda)$.


\chapter{Målelighed og mål}
\section{Målelige mængder - begrebet \sigmaalg ebra}
\bookitemdef{4}{af \sigmaalg ebra}
\bookitembem{4}{}
\bookitemlem{5}{Lukkethedsegenskaber i \sigmaalg ebraer}
\bookitemeks{5}{}
\bookitembem{6}{}
\bookitemthm{7}{}
\bookitemthm{7}{Inklusion af \sigmaalg ebra i anden \sigmaalg ebra ud fra frembringer}
\bookitemdef{8}{}
\bookitembem{8}{Inklusion af \sigmaalg ebra i anden \sigmaalg ebra ud fra frembringer}
\bookitemeks{8}{}
\bookitemthm{9}{Alle mgd. i frembringer har egenskab $\Rightarrow$ Alle mgd. i \sigmaalg ebra har egenskab}
\bookitemeks{10}{}

\section{Borel-algebraen i $\reals^d$}
\bookitemdef{11}{Metrik}
\bookitemdef{12}{Borel-algebraen frembragt af de åbne mængder}
\bookitemthm{12}{}
\bookitemlem{12}{}
\bookitemkor{14}{Borelalgebraen frembragt af ubegrænsede intervaller}

\section{Mål og deres grundlæggende egenskaber}
\bookitemdef{15}{Måleligt rum $(X, \sysE)$}
\bookitemdef{16}{Mål}
\bookitemeks{16}{på mål, herunder Lebesgue-målet på $\reals^d$, tællemålet, Dirac-målet}
\bookitemc{1.3.3(D)}{\textit{Eksempel}}{16}{Koncentrationen af et mål er igen et mål}
\bookitemthm{17}{Lukkethedsegenskaber ved mål}
\bookitembem{19}{}
\bookitembem{19}{}
\bookitemdef{20}{}
\bookitembem{20}{}

\section{Målelige afbildninger}
\bookitemdef{21}{urbilledet}
\bookitemeks{21}{}
\bookitemdef{22}{$\sysE$-$\sysF$-målelig funktion}
\bookitemeks{22}{}
\bookitembem{22}{}
\bookitemthm{22}{urbilledet af målelig fkt er \sigmaalg ebra}
\bookitemc{1.4.6(iv)}{\textbf{Sætning}}{22}{Fkt. er målelig hvis urbilledet af et frembringerelement er måleligt}
\bookitemlem{25}{}
\bookitemthm{25}{Kontinuerte funktioner er målelige}
\bookitemthm{25}{Flerdimensionel målelig $\Leftrightarrow$ koordinater målelig}
\bookitembem{26}{}

\section{Målelige funktioner med værdier i $\reals$}
\bookitemdef{26}{$\sysE$-$\reals$-målelige funktioner}
\bookitembem{26}{}
\bookitemeks{27}{Monotone funktioner er målelige}
\bookitemthm{27}{Målelighed bevares under funktionsaritmetik}
\bookitemeks{28}{vis at en mængde er en Borel-mængde}

\section{Målelighed ved grænseovergang}
\bookitemdef{29}{Borel-algebraen}
\bookitembem{29}{}
\bookitemlem{30}{}
\bookitemdef{30}{}
\bookitembem{31}{}
\bookitemthm{31}{}
\bookitemkor{32}{}
\bookitemthm{33}{}
\bookitembem{34}{}
\bookitemeks{34}{}
\bookitemkor{34}{}

\section{Måleligehed i delrum}
\bookitemdef{35}{}
\bookitembem{35}{}
\bookitemthm{36}{Tuborg-resultatet generelt}
\bookitemdef{37}{}
\bookitemlem{37}{}
\bookitemthm{38}{}
\bookitemlem{38}{}
\bookitemkor{38}{Tuborg-resultatet for $\reals^d$}

\section{Simple funktioner, side 39}

\vfill
\pagebreak
\chapter{Lebesgue-integralet}
\section{Integralet af positive simple funktioner, side 60}

\section{Integration af positive målelige funktioner}
\bookitemdef{63}{af $\int f \dmu$}
\bookitembem{63}{}
\bookitemlem{64}{$\int f \dmu$ stemmer overens med $I_\mu$}
\bookitemthm{64}{Monoton konvergens}
\bookitemkor{66}{}
\bookitemeks{66}{}
\bookitemthm{68}{}
\bookitembem{68}{}
\bookitemthm{68}{}
\bookitemthm{69}{Fatous lemma}
\bookitemthm{70}{}
\bookitembem{71}{}
\bookitemeks{71}{}

\section{Nulmængder og $\mu$-næsten overalt, side 72}

\section{Integration af reelle funktioner}
\bookitemdef{76}{af $\el(\mu)$ og $\Lone(\mu)$}
\bookitembem{76}{}
\bookitemdef{77}{}
\bookitembem{77}{}
\bookitemthm{78}{}
\bookitembem{79}{}
\bookitemkor{80}{$f$ i $\el$ eller $\Lone$ ud fra majorent}
\bookitembem{81}{}
\bookitembem{81}{}

\section{Konvergenssætninger for integralet}
\bookitemthm{82}{}
\bookitemthm{83}{}
\bookitemthm{84}{Domineret konvergens}
\bookitembem{85}{}
\bookitemeks{85}{}

\section{Integration over delmængde}
\bookitemdef{87}{}
\bookitembem{87}{}
\bookitembem{88}{}
\bookitembem{88}{}
\bookitemthm{89}{}

\section{Lebesgue-integralet vs. Riemann-integralet}
\bookitemdef{90}{}
\bookitembem{91}{}
\bookitemthm{91}{Omskriv til Riemann-integral}
\bookitembem{93}{}
\bookitemeks{93}{}
\bookitembem{94}{}

\chapter{Entydighed af mål}
\section{Delta-systemer og Dynkins Lemma}
\bookitemdef{103}{Delta-system}
\bookitembem{104}{}
\bookitembem{104}{}
\bookitemlem{104}{Ækvivalens mellem $\delta$-system og \sigmaalg ebra}
\bookitemthm{105}{Frembringere af $\delta$-systemer}
\bookitembem{105}{}
\bookitemthm{105}{Ækvivalens mellem $\delta$-system og \sigmaalg ebra (Dynkins Lemma)}

\section{Entydighedsresultater for mål}
\bookitemthm{106}{Entydighed for endelige mål}
\bookitem{Hovedsætning}{107}{Entydighed for vilkårlige mål}
\bookitemeks{108}{}
\bookitemeks{109}{}

\chapter{Produktmål}
\section{Produktrummet af to målelige rum, side 113}

\section{Produktrum af flere end to målelige rum, side 117}

\section{Eksistens og entydighed af produktmål}
\bookitemlem{123}{}
\bookitemlem{124}{}
\bookitemthm{125}{}
\bookitemdef{126}{Produktmålet}
\bookitembem{126}{}
\bookitemthm{127}{}
\bookitembem{128}{}
\bookitemkor{128}{Fra produktmål til grundmål: $\lambda_{d+m}(B) = \int_{\reals^d} \lambda_m (B_x) \lambdaddx$}
\bookitemthm{128}{}
\bookitemkor{129}{}

\section{Integration med hensyn til produktmål - Tonellis og Fubinis Sætninger}
\bookitemthm{130}{Tonelli: Fra dobbeltintegral til itereret integral (positive funktioner)}
\bookitembem{131}{}
\bookitemeks{132}{}
\bookitemthm{134}{Fubini: Generel Tonelli (generelle funktioner)}
\bookitembem{134}{}

\end{document}
