\documentclass[article,twocolumn,oneside,a4paper]{memoir}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[sc]{mathpazo}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,amsthm}
\usepackage[final]{microtype}
\usepackage{url}
\usepackage{color}

\setulmarginsandblock{65pt}{65pt}{*}
\setlrmarginsandblock{35pt}{35pt}{*} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
\checkandfixthelayout

\newcommand\nats{\mathbb{N}}
\newcommand\ints{\mathbb{Z}}

\DeclareMathOperator\Ker{Ker}
\DeclareMathOperator\ord{ord}
\DeclareMathOperator\lcm{lcm}
\DeclareMathOperator\sgn{sgn}
\DeclareMathOperator\Deg{deg}

\newcommand\suchthat{\,:\,}
\newcommand\wehave{\,:\,}
\newcommand\isomorphic{\overset\sim\to}
\newcommand\divides{\,|\,}

\newcounter{bookitemc}[section]
\newcommand\nextbookitem{\stepcounter{bookitemc}\thesection.\arabic{bookitemc}}

% The following bit of TeX magic breaks the line before the user-supplied book
% item description in case this is as good not breaking the line at that point.
\newcommand\suggestbreakbefore[1]{%
\quad\hfill\penalty0\hskip0pt plus -1fill %
\count123=\linepenalty %
\linepenalty=100 %
#1
\linepenalty=\count123 %
}

\newcommand\bookitemc[4]{%
\par \noindent %
\hangindent=0.7cm %
#2 #1 %
\suggestbreakbefore{#4} %
\hfill \textit{#3}}

% Shorthands for the above
\newcommand\bookitem[4]{\bookitemc{#2}{#1}{#3}{#4}}
\newcommand\bookitemdef{\bookitem{\textbf{Definition}}}
\newcommand\bookitemlem{\bookitem{\textbf{Lemma}}}
\newcommand\bookitemthm{\bookitem{\textbf{Theorem}}}
\newcommand\bookitemprp{\bookitem{\textit{Proposition}}}
\newcommand\bookitemcor{\bookitem{\textbf{Corollary}}}
\newcommand\bookitemsec{\bookitem{\textbf{Section}}}
%\newcommand\bookitembem{\bookitem{\textit{Bemærkning}}}

% Don't display these unless there is a user-supplied description
\newcommand\bookitembem[2]{%
  \ifx&#2&%
  \par\stepcounter{bookitemc}%
  \else%
  \bookitem{\textit{Bemærkning}}{#1}{#2}%
  \fi%
}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large
  Concrete Abstract Algebra \\
  af Niels Lauritzen
\end{center}

\chapter*{Number theory}
\bookitemcor{1.5.11(i)}{13}{$(gcd(a, b) = 1, a|c, b|c) \implies ab|c.$}
\bookitemcor{1.5.11(ii)}{13}{$gcd(a, b) = gcd(a, c) = 1 \implies gcd(a, bc) = 1.$}
\bookitemthm{1.6.4}{16}{Chinese Remainder Theorem.}
\bookitemlem{1.8.3}{22}{($p$ prime number, $p|ab$) $\implies (p|a \vee p|b).$}
\bookitemsec{1.8.3}{24}{Tells how to compute $\varphi(n)$.}

\chapter*{Group theory}
\bookitemthm{2.2.8}{53}{Lagrange.}
\bookitemsec{2.1.6}{56}{For $g \in G$, $\varphi : G \rightarrow G$ with
$\varphi(x) = gx$ is bijective.}
\bookitemlem{2.3.6}{66}{$(H, K \subseteq G$, $H$ normal) $\implies HK \subseteq G.$}
\bookitemprp{2.4.9}{70}{$f : G \rightarrow K$ group homomorphism}
\bookitemprp{2.4.9(i)}{70}{$f(G) \subseteq K.$}
\bookitemprp{2.4.9(ii)}{70}{$Ker(f) \subseteq G$ normal.}
\bookitemprp{2.4.9(iii)}{70}{$f$ injective $\Leftrightarrow$ $\Ker(f) = \{e\}.$}
\bookitemprp{2.6.3}{73}{talks about group element order.}
\bookitemprp{2.7.2}{74}{($G$ group, $|G| = p$ prime number) \\
$\implies$ $G \isomorphic Z/pZ$ cyclic.}
\bookitemprp{2.7.4}{75}{talks about cyclic groups and subgroups.}
\bookitemlem{2.8.1}{77}{($M$, $N \subseteq G$ normal, and $M \cap N = \{e\}$)
$\implies M \times N \isomorphic MN.$}
\bookitemprp{2.8.2}{77}{The group version of the Chinese.}

\chapter*{Permutations}
\bookitemsec{2.9}{78}{$|S_n| = n!$.}
\bookitemsec{2.9.3}{85}{$|A_n| = \frac{n!}{2}$.}
\bookitemsec{2.9.1}{79}{$\ord(\text{$k$-cycle}) = k$ \\
(look just above example 2.9.3, p. 80).}
\bookitemprp{2.9.5}{80}{$\sigma = \sigma_1\dots\sigma_r$, $\sigma_i$ disjoint, \\
$\ord(\sigma) = \lcm \{\sigma_1,\dots,\sigma_r\}$.}
\bookitemprp{2.9.14}{84}{$\sigma$ is a product of $\geq n(\sigma)$ simple transpositions.}
\bookitemprp{2.9.16}{85}{sgn is a group homomorphism.}
\bookitemprp{2.9.17}{86}{$\sgn(\text{$k$-cycle}) = (-1)^{k-1}$.}
\bookitemsec{2.10.2}{98}{$\forall \sigma_1, \sigma_2 \in S_n : \exists \tau \in S_n : \tau \sigma_1 \tau^{-1} = \sigma_2$.}

\chapter*{Sylow-subgroups, pp. 101-104}

\vfill
\pagebreak

\chapter*{Ring theory}
\bookitemprp{3.2.2}{117}{$d \in Z$. Then $(Z/dZ)^*$ is abelian with order $\phi(d)$.}
\bookitemprp{3.2.7}{119}{An ideal $I \subseteq R$ is maximal $\Leftrightarrow$ $R/I$ is a field.}
\bookitemprp{3.3.2}{120}{$(f : R \rightarrow S \text{ ring homomorphism}) \Rightarrow (g : R/Ker(f) \rightarrow f(R) \text{ ring isomorphism}).$}
\bookitemprp{3.3.7}{121}{$R$ finite domain $\Rightarrow$ ($R$ field, $\operatorname{char} R = p$ prime number).}
\bookitemthm{3.5.7}{129}{A principal ideal domain is a unique factorization domain.}

\chapter*{Polynomium rings}

\bookitemprp{4.2.2}{148}{Conditions for $\Deg(f g) = \Deg(f ) \Deg(g)$.}
\bookitemprp{4.2.4}{148}{$f, d \in R[X] \exists \, q, r \in R[X] : f = qd + r$.}
\bookitemthm{4.3.5}{152}{$f = 0$ then $f = q(X - \alpha1 )^{\nu_{\alpha_1} (f )} \dots (X - \alpha_r )^{\nu_{\alpha_r}(f )} , V (q) = \emptyset$.}
\bookitemlem{4.3.8}{154}{$f, g \in R[X]$ i) $f^2 \divides g \Rightarrow f \divides D(g)$. ii) $\nu_\alpha (f ) > 1 \Leftrightarrow \alpha \text{ root of $f$ and $D(f )$}$.}
\bookitemthm{4.5.3}{158}{$F$ field, $G \subseteq F^*$ finite subgroup. Then $G$ is cyclic.}
\bookitemprp{4.6.3(i)}{162}{$( f \text{ maximal ideal}) \Leftrightarrow (f \text{ irreducible})$. \\
$(f \text{ irreducible}) \Rightarrow (F [X] / f \text{ field})$.}
\bookitemprp{4.6.3(ii-v)}{162}{Defines when $f$ is a unit or irreducible.}
\bookitemprp{4.6.7}{165}{$(g \in R[X]/ f , f \text{ monic of deg } \geq n > 0) \Rightarrow (g = b_0X^0 \dots b_{n-1}X^{n-1} \text{ uniquely})$.}

\chapter*{Gröbner bases}

\bookitemprp{5.3.1}{194}{Division algorithm.}
\bookitemthm{5.6.8}{208}{$F (f_1 , \dots , f_m ) \text{ GB} \Leftrightarrow (S(f_i , f_j ) \rightarrow_F 0$ for $1 \leq i < j \leq m)$.}
\bookitemcor{5.6.9}{208}{$(F = (f_1 , \dots , f_m ) \text{ GB} ) \Leftrightarrow $ for all $1 \leq i < j \leq m$ we have $S(f_i , f_j )^F = 0$.}
\bookitemlem{5.7.3}{210}{$(f, g \in R, gcd (in_\leq (f ) , in_\leq (g)) = 1) \Rightarrow S(f, g) \rightarrow_{(f,g)} 0$.}
\bookitemthm{5.9.1}{215}{Tells about $G\cap k[X_1 , \dots , X_i ]$ being a GB for $I \cap k[X_1 , \dots , X_i ]$.}
\chapter*{Good definitions}
\bookitemdef{2.2.1}{61}{Subgroup.}
\bookitemdef{2.4.1}{68}{Group homomorphism.}
\bookitemdef{2.5.1}{71}{Goup isomorphism.}
\bookitemdef{3.3.1}{112}{Ring, subring, etc.}
\bookitemsec{3.3}{119}{Ring homo- and isomorphism.}

%\chapter{Målelighed og mål}
%\section{Målelige mængder - begrebet \sigmaalg ebra}
%\bookitemdef{4}{af \sigmaalg ebra}
%\bookitembem{4}{}
%\bookitemlem{5}{Lukkethedsegenskaber i \sigmaalg ebraer}
%\bookitemeks{5}{}
%\bookitembem{6}{}
%\bookitemthm{7}{}
%\bookitemthm{7}{Inklusion af \sigmaalg ebra i anden \sigmaalg ebra ud fra frembringer}
%\bookitemdef{8}{}
%\bookitembem{8}{Inklusion af \sigmaalg ebra i anden \sigmaalg ebra ud fra frembringer}
%\bookitemeks{8}{}
%\bookitemthm{9}{Alle mgd. i frembringer har egenskab $\Rightarrow$ Alle mgd. i \sigmaalg ebra har egenskab}
%\bookitemeks{10}{}
%
%\section{Borel-algebraen i $\reals^d$}
%\bookitemdef{11}{Metrik}
%\bookitemdef{12}{Borel-algebraen frembragt af de åbne mængder}
%\bookitemthm{12}{}
%\bookitemlem{12}{}
%\bookitemkor{14}{Borelalgebraen frembragt af ubegrænsede intervaller}
%
%\section{Mål og deres grundlæggende egenskaber}
%\bookitemdef{15}{Måleligt rum $(X, \sysE)$}
%\bookitemdef{16}{Mål}
%\bookitemeks{16}{på mål, herunder Lebesgue-målet på $\reals^d$, tællemålet, Dirac-målet}
%\bookitemc{1.3.3(D)}{\textit{Eksempel}}{16}{Koncentrationen af et mål er igen et mål}
%\bookitemthm{17}{Lukkethedsegenskaber ved mål}
%\bookitembem{19}{}
%\bookitembem{19}{}
%\bookitemdef{20}{}
%\bookitembem{20}{}
%
%\section{Målelige afbildninger}
%\bookitemdef{21}{urbilledet}
%\bookitemeks{21}{}
%\bookitemdef{22}{$\sysE$-$\sysF$-målelig funktion}
%\bookitemeks{22}{}
%\bookitembem{22}{}
%\bookitemthm{22}{urbilledet af målelig fkt er \sigmaalg ebra}
%\bookitemc{1.4.6(iv)}{\textbf{Sætning}}{22}{Fkt. er målelig hvis urbilledet af et frembringerelement er måleligt}
%\bookitemlem{25}{}
%\bookitemthm{25}{Kontinuerte funktioner er målelige}
%\bookitemthm{25}{Flerdimensionel målelig $\Leftrightarrow$ koordinater målelig}
%\bookitembem{26}{}
%
%\section{Målelige funktioner med værdier i $\reals$}
%\bookitemdef{26}{$\sysE$-$\reals$-målelige funktioner}
%\bookitembem{26}{}
%\bookitemeks{27}{Monotone funktioner er målelige}
%\bookitemthm{27}{Målelighed bevares under funktionsaritmetik}
%\bookitemeks{28}{vis at en mængde er en Borel-mængde}
%
%\section{Målelighed ved grænseovergang}
%\bookitemdef{29}{Borel-algebraen}
%\bookitembem{29}{}
%\bookitemlem{30}{}
%\bookitemdef{30}{}
%\bookitembem{31}{}
%\bookitemthm{31}{}
%\bookitemkor{32}{}
%\bookitemthm{33}{}
%\bookitembem{34}{}
%\bookitemeks{34}{}
%\bookitemkor{34}{}
%
%\section{Måleligehed i delrum}
%\bookitemdef{35}{}
%\bookitembem{35}{}
%\bookitemthm{36}{Tuborg-resultatet generelt}
%\bookitemdef{37}{}
%\bookitemlem{37}{}
%\bookitemthm{38}{}
%\bookitemlem{38}{}
%\bookitemkor{38}{Tuborg-resultatet for $\reals^d$}
%
%\section{Simple funktioner, side 39}
%
%\vfill
%\pagebreak
%\chapter{Lebesgue-integralet}
%\section{Integralet af positive simple funktioner, side 60}
%
%\section{Integration af positive målelige funktioner}
%\bookitemdef{63}{af $\int f \dmu$}
%\bookitembem{63}{}
%\bookitemlem{64}{$\int f \dmu$ stemmer overens med $I_\mu$}
%\bookitemthm{64}{Monoton konvergens}
%\bookitemkor{66}{}
%\bookitemeks{66}{}
%\bookitemthm{68}{}
%\bookitembem{68}{}
%\bookitemthm{68}{}
%\bookitemthm{69}{Fatous lemma}
%\bookitemthm{70}{}
%\bookitembem{71}{}
%\bookitemeks{71}{}
%
%\section{Nulmængder og $\mu$-næsten overalt, side 72}
%
%\section{Integration af reelle funktioner}
%\bookitemdef{76}{af $\el(\mu)$ og $\Lone(\mu)$}
%\bookitembem{76}{}
%\bookitemdef{77}{}
%\bookitembem{77}{}
%\bookitemthm{78}{}
%\bookitembem{79}{}
%\bookitemkor{80}{$f$ i $\el$ eller $\Lone$ ud fra majorent}
%\bookitembem{81}{}
%\bookitembem{81}{}
%
%\section{Konvergenssætninger for integralet}
%\bookitemthm{82}{}
%\bookitemthm{83}{}
%\bookitemthm{84}{Domineret konvergens}
%\bookitembem{85}{}
%\bookitemeks{85}{}
%
%\section{Integration over delmængde}
%\bookitemdef{87}{}
%\bookitembem{87}{}
%\bookitembem{88}{}
%\bookitembem{88}{}
%\bookitemthm{89}{}
%
%\section{Lebesgue-integralet vs. Riemann-integralet}
%\bookitemdef{90}{}
%\bookitembem{91}{}
%\bookitemthm{91}{Omskriv til Riemann-integral}
%\bookitembem{93}{}
%\bookitemeks{93}{}
%\bookitembem{94}{}
%
%\chapter{Entydighed af mål}
%\section{Delta-systemer og Dynkins Lemma}
%\bookitemdef{103}{Delta-system}
%\bookitembem{104}{}
%\bookitembem{104}{}
%\bookitemlem{104}{Ækvivalens mellem $\delta$-system og \sigmaalg ebra}
%\bookitemthm{105}{Frembringere af $\delta$-systemer}
%\bookitembem{105}{}
%\bookitemthm{105}{Ækvivalens mellem $\delta$-system og \sigmaalg ebra (Dynkins Lemma)}
%
%\section{Entydighedsresultater for mål}
%\bookitemthm{106}{Entydighed for endelige mål}
%\bookitem{Hovedsætning}{107}{Entydighed for vilkårlige mål}
%\bookitemeks{108}{}
%\bookitemeks{109}{}
%
%\chapter{Produktmål}
%\section{Produktrummet af to målelige rum, side 113}
%
%\section{Produktrum af flere end to målelige rum, side 117}
%
%\section{Eksistens og entydighed af produktmål}
%\bookitemlem{123}{}
%\bookitemlem{124}{}
%\bookitemthm{125}{}
%\bookitemdef{126}{Produktmålet}
%\bookitembem{126}{}
%\bookitemthm{127}{}
%\bookitembem{128}{}
%\bookitemkor{128}{Fra produktmål til grundmål: $\lambda_{d+m}(B) = \int_{\reals^d} \lambda_m (B_x) \lambdaddx$}
%\bookitemthm{128}{}
%\bookitemkor{129}{}
%
%\section{Integration med hensyn til produktmål - Tonellis og Fubinis Sætninger}
%\bookitemthm{130}{Tonelli: Fra dobbeltintegral til itereret integral (positive funktioner)}
%\bookitembem{131}{}
%\bookitemeks{132}{}
%\bookitemthm{134}{Fubini: Generel Tonelli (generelle funktioner)}
%\bookitembem{134}{}

\end{document}
